​八下一元二次方程重要知识点汇总

八下一元二次方程重要知识点汇总

初中一元二次方程是学习二次函数的重要基础，与一元二次方程关联的知识点包括∶十字相乘法、配方法等因式分解知识，熟练掌握开方运算和完全平方公式以及完全平方变式。

任何一个一元二次方程都可以整理为形如ax²+bx+c=0(a≠0)的形式，下面对一元二次方程的讲解都以这种形式为标准。

⒈一元二次方程的求根公式。

x²+2(b/2a)x+(b/2a)²=(b/2a)²-c(先配方再开方)x=［-b±(√b²-4ac)］/2a。

⒉一元二次方程的根的判别式。

在实数范围内能使一元二次方程成立的未知数的值，称为一元二次方程的根。我们可以通过b²-4ac的取值来直接判断一元二次方程的根的情况，b²-4ac称为一元二次方程ax²+bx+c=0的根的判别式，数学上用Δ表示。⑴当Δ＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；⑵当Δ=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；⑶当Δ＜0时，一元二次方程无实数根。

⒊一元二次方程根与二次项系数a、一次项系数b及常数项c的关系(韦达定理)。X1+X2=-b/a；X1.X2=c/a。

一元二次方程的考点总体分为四类∶⑴解一元二次方程；⑵与一元二次方程根的判别式相关的求值求解；⑶与韦达定理相关求值求解；⑷一元二次方程的整数根问题。

⑴解一元二次方程∶沪科版八下阶段需要掌握四种解一元二次方程的方法。

①配方+开方法(等式一边为完全平方的形式，等式的另一边为一个常数的形式)这种方法要求同学熟练掌握配方的方法∶(头)²±2.头.尾+(尾)²=(头±尾)²；

②因式分解法∶需要将一元二次方程转化为(mx±p)(nx±q)=0的形式。要求学生熟练掌握十字相乘进行因式分解的方法。

③用求根公式解一元二次方程∶将一元二次方程整理为ax²+bx+c=0的标准形式，确定a，b，c的值后代入求根公式；

④用韦达定理解一元二次方程，需要掌握完全平方的变式。

除了用求根公式解一元二次方程外，另外三种解一元二次方程的方法都有很高的技巧性，需要学生做大量的练习。

关于一元二次方程的整数根问题∶要满足两个条件①Δ要是个完全平方数；②-b±√Δ要是2a的整数倍。

下面通过一道一元二次方程的压轴题的讲解结束今天的课程。

例题∶关于a的一元二次方程a²+(k-5)a+1-k=0的两根为m和n，且n＜3＜m，求满足条件的k的最大整数值。

解析∶根据条件，一元二次方程有两个实数根，那Δ≥0，即(k-5)²-4(1-k)≥0，展开整理后k²-6k+21≥0，(k-3)²+12≥0，无论k为何值始终Δ≥0都成立，解题的重点就是n＜3＜m，即n-3＜0，m-3＞0。

解∶(n-3)(m-3)＜0，即nm-3(m+n)+9＜0，根据韦达定理m+n=5-k，mn=1-k。代入后1-k-3(5-k)+9＜0，k＜5/2，k的最大整数解为2。